Реальные экспериментальные данные очень часто отличаются от той классической матрицы данных, которая анализировалась выше. Наиболее распространенный артефакт в процедуре парного сравнения, который связан с ограничением на возможное число предъявлений, — стопроцентное предпочтение одного стимула другому, что приводит к появлению в матрице вероятностей нулей и
единиц. Ноль и единица в терминах модели Терстоуна не несут сравнительной информации о различии стимулов, поэтому не могут быть использованы для расчетов шкальных значений стимулов.
Для матриц с нулями и единицами (они называются неполными матрицами) существуют особые алгоритмы анализа. Наиболее распространенный из них подробно описан в работе Торгерсона (1958) и вкратце состоит в следующем.
Из выражения (12) для стимула j следует, что стимул j+І будет описываться следующим выражением:

(18)
Вычтя из уравнения (18) уравнение (12), мы получим сравнительное различие для интересующего нас стимула косвенным путем. В терминах минимизированной ошибки эта величина может быть вычислена из выражения:

где п. — есть индекс суммирования.
Для практического удобства матрицу Z следует перестроить таким образом, чтобы столбцы были упорядочены по величине. Порядок столбцов в матрице Z определяется суммой по столбцу матрицы Р. Для такой упорядоченной матрицы Z различие Sj+e - Sj можно прямо вычислить из выражения (19). Если мы шкальное значение первого стимула (Ss) приравняем к нулю, то шкальное значение любого стимула есть сумма щкального значения стимула и расстояния между данным стимулом и предшествующим:
= О,

(20)
Рассмотрим практический пример рещения для неполной матрицы частот, взятый из работы Торгерсона
(1958). Пусть нам дана матрица вероятностей предпочтения і-го стимула j-му с некоторыми вырожденными (пустыми) элементами, равными 0 или 1.
Таблица 4
Матрица вероятностей Р

Стимулы	1	2	3	4	5
]	—	1.00	0.93	1.00	0,98
2	0.00	—	0.00	0.16	0.03
3	0.07	1,00		0,94	0.69
4	0.00	0.84	0.06	—	0.16
5	0.02	0,97	ол	0,84	—
	0.09	3.81	1.30	2.94	/.86

Примечание. Элементом матрицы рц является вероятность, с которой стимул і в паре/ / оценивался более предпочтительным, чем стимул j.
Матрица Z — оценок
Преобразуем вероятности ру в единицы стандартного отклонения нормального распределения — г...
Таблица 5

Стимулы	і	2	3	4	5
1	0	—	1.48		2.05
2		0	—	-0.99	-1.88
3	-1.48		0	1.55	0.50
4		0.99	-1.55	0	-0.99
5	-2.05	1.88	-0.50	0.99	0
І ;=]	-3.53	2.87	-0.57	1.55	-0.32

Примечание. Элементом матрицы является вероятность pjf преобразованная в единицы стандартного отклонения.
Таблица 6

Стимулы	1	3	5	4	2
1		1.48	2.05
2	——		-Г88	-і0.99	—
3	-1.48		0.50	L55
4	—	-/.55	-0.99		0.99
5	-2.05	-0.50	—	0.99	1.88
І У-1	-3.53	-0.57	-0.32	1.55 %	2.87

Матрица Z' — оценок
Примечание. Элементом матрицы Z'u является вероятность p’jf преобразованная в единицы стандартного отклонения. Столбцы упорядочены по возрастанию              р j,i .
Переставим столбцы в матрице Z в таком порядке, чтобы первый столбец имел наименьшую сумму элементов, а последний — наибольшую.
Таблица 7
Матрица разностей между столбцами

St / dj.			СІ4.І	(*2,4
1	L48	0.57
2	—		0.89	0.99
3	1.48	0.50	1.05	—
4	—	0.56	0.99	0.99
S	1.55	0.50	0.99	0.89
* gt; = ¦	4.51	2.13	3.92	2.87
Ч ИСЛО ЭЛ-ОВ	3	4	4	3
n і	1.50	0.53	0.98	0.96

Из матрицы Z' можно получить матрицу различий между соседними парами столбцов, вычитая их поэлементно один из другого. В каждой j-й строке элемент этой матрицы будет равен ( zj i+) - zj ;).
Пользуясь выражением (20), вычисляем из полученных различий шкальные значения стимулов, приняв, что S, = 0:
S, = о,
S3= 0 + 1.5 = 1.5,
S5 = 1.5 + 0.53 = 2.03,
S4 = 2.03 + 0.98 = 3.01,
S2 = 3.01 + 0.56 - 3.97.
Из рассмотренной процедуры видно, что недостающие элементы матрицы компенсируются наличием внутренней связи между элементами столбца, что позволяет рассматривать разность между столбцами матрицы как результат алгебраической интерполяции отсутствующих элементов в столбце.
Литература

1. Терстуон Л.Л. Психофизический анализ // Проблемы и методы психофизики / Под ред. А.Г.Асмолова, М.Б.Михалевской. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.
2. Guilford J. P. Psychometric Methods. N. Y., Toronto, London: Mc-Grow-Hill, 1954.
3. Torgerson N.S. Theory and Method of scaling. N. Y.: John Wiley and Sons, 1958.

Методические указания яо выполнению учебного задания но теме “Метод иариых сравнений”