Понятие электрического сопротивления было введено в физику Георгом Омом, который в результате экспериментальных исследований открыл получивший его имя закон
I = U/R, (2.1)
где I — сила тока в проводнике, U — приложенное к проводнику напряжение, R — сопротивление проводника, измеряемое в омах (Ом). Обратная сопротивлению величина G = 1/R называется проводимостью и измеряется в сименсах (См).
Цепь на рис. 2.1,а, состоящая из последовательно соединенных сопротивления R и емкости C, на переменном токе характеризу-
Рис. 2.1. Цепь из активного и реактивного элементов (а) и векторная диаграмма напряжений на элементах (б)
ется комплексным импедансом Z. Импеданс включает активную омическую составляющую R, реактивную емкостную составляющую Xc, и выражается формулой
где j — мнимая единица, определяемая равенством j2 = —1, Здесь и далее комплексные переменные обозначаются прямым жирным шрифтом, Абсолютная величина реактивного сопротивления Хс равна
(2.3)
где и — круговая частота, измеряемая в рад/с (часто пишут с-1) и связанная с обычной частотой f, измеряемой в Гц, формулой и = 2пf, Величина емкости измеряется в фарадах (Ф).
Комплексное представление позволяет отображать переменные токи и напряжения с разными фазами, Переменное напряжение Ид на активном сопротивлении совпадает по фазе с переменным током I, в то время как переменное напряжение Uc на емкости отстает от тока по фазе на 90°, что выражается знаком минус в (2,2), Фазовые соотношения напряжений показаны на векторной диаграмме (рис, 2,1,6), где U — полное напряжение на цепи, Импеданс характеризуется модулем Z и фазовым углом pz:
(2.4)
В случае переменного тока вместо R в знаменателе закона Ома (2.1) появляется модуль импеданса Z, а в качестве I и U используют действующие, то есть среднеквадратические, значения тока и напряжения.
Помимо емкостного реактивного сопротивления Xc в электротехнике существует индуктивное реактивное сопротивление Xl, напряжение на котором опережает по фазе ток на 90°. Вопрос о наличии индуктивной составляющей в импедансе биологических объектов пока не имеет однозначного ответа, поэтому далее будет рассмотрена только емкостная составляющая.
Активное сопротивление связано с проводящей средой. В случае биологических тканей такой средой являются водные растворы электролитов во внеклеточном и внутриклеточном пространствах.
Эта составляющая импеданса обуславливает преобразование электрической энергии в тепло при протекании тока.
Емкостная составляющая импеданса создается диэлектрическими перегородками между проводящими областями. В биообъектах такими перегородками являются мембраны клеток и клеточных органелл. В растворе электролита с обеих сторон перегородки ионы под действием электрического поля перемещаются к ее поверхности, пока поле накопленных зарядов не уравновесит приложенное внешнее поле. В результате в емкости накапливаются заряд и электрическая энергия.
Обратная импедансу величина Y = 1/Z называется комплексной проводимостью. Она также содержит действительную и мнимую составляющие
(2.5)
имеющие размерность См. На эквивалентной схеме составляющие комплексной проводимости соединены параллельно. Ток через емкость опережает напряжение на ней на 90°, поэтому мнимая составляющая в (2.5) положительная. Для получения равенств, связывающих компоненты Z и Y, запишем
(2.6)
(2.7)
Аналогично выполняются обратные преобразования:
(2.8)
Для модуля и фазового угла проводимости из (2.2), (2.5) и (2.7) получаем
Y = 1/Z; vy = -м. (2.9)
Рассмотрим частотные характеристики импеданса на примере упрощенной эквивалентной схемы биообъекта на рис. 2.2,а, где Re, Ri — омические сопротивления межклеточной и внутриклеточной жидкостей, Cm — емкость клеточных мембран. С ростом частоты
Рис. 2.2. Упрощенная эквивалентная схема биообъекта (а) и ее частотные характеристики (б, в)
переменного тока реактивное сопротивление емкости Cm уменьшается в соответствии с (2.3), и все большая часть тока проходит внутри клеток. На каждой частоте такая цепь может быть представлена в виде последовательного соединения активного и реактивного сопротивлений, как на рис. 2.1,а, но теперь не только Xc, но и R оказывается функцией частоты. Используя правила расчета импедансов параллельного и последовательного соединения элементов, получаем
На рис. 2,2,6 приведены графики рассчитанных по (2.10) частотных зависимостей R, Xc, Z и р для случая Re = Ri = 400 Ом, Cm = 4нФ. Значения Xc и р показаны без учета отрицательного знака. Из графиков видно, что влияние емкости, характеризуемое величинами Xc и р, стремится к нулю как на низких, так и на высоких частотах. Частота, на которой Xc достигает максимального значения, называется характеристической частотой fc. Заметные изменения параметров импеданса имеют место в диапазоне частот от примерно 103 до 106Гц. Этот диапазон называется областью дисперсии импеданса. Отметим еще, что пара графиков Z(f) и p(f) называется диаграммой Боде.
Еще одно наглядное средство отображения частотных свойств импеданса — годограф, называемый также графиком Найквиста, диаграммой Весселя или импедансным локусом. На годографе отображаются пары значений R, Xc, получаемые при разных частотах. Для схемы на рис. 2.2,а при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф имеет вид полуокружности (рис. 2.2,в). Значения Xc показаны положительными.