Удельные сопротивления, проводимости и диэлектрические проницаемости биологических тканей существенно зависят от частоты переменного тока. В качестве примера рассмотрим частотные зависимости удельной проводимости а' и относительной диэлектрической проницаемости % мышечной ткани (рис. 2.3). Данные взяты из известной работы С. Габриэл с соавторами (Gabriel et al., 1996a). Двойная линия графика e'r на частотах 100 кГц-10 МГц, по-видимому, объясняется использованием в этом диапазоне частот двух разных методов измерения.
Активная проводимость растет вместе с частотой. На относи-

Рис. 2.3. Частотные зависимости удельной проводимости а' и относительной диэлектрической проницаемости e'r мышечной ткани (Gabriel et
al., 1996a)
тельно низких частотах это объясняется уменьшением реактивного сопротивления диэлектрических перегородок и все большим проникновением тока во внутриклеточное пространство. На частотах выше 1ГГц увеличение проводимости обусловлено другими механизмами, но этот диапазон не используется для анализа состава тела.
Диэлектрическая проницаемость при повышении частоты уменьшается. На разных частотах действуют разные причины такой зависимости. X. Шван (Schwan, 1957) выделил три частотных диапазона с разными механизмами релаксации, то есть уменьшения поляризации диэлектриков при повышении частоты переменного электрического поля.
На частотах от долей герца до единиц килогерц убывание величины e'r обусловлено различными эффектами, происходящими на поверхности и в каналах клеточных мембран и во внутриклеточных структурах. Этот частотный диапазон соответствует а-дисперсии.
В диапазоне ,0-дисперсии от десятков килогерц до примерно 100 МГц сказывается эффект Максвелла-Вагнера, заключающийся в уменьшении с ростом частоты эффективной диэлектрической проницаемости многослойного диэлектрика с различными диэлектрическими проницаемостями слоев. Также на этих частотах постепенно уменьшается поляризуемость больших белковых молекул.

Рис. 2.4. Эквивалентные схемы модели Коула (а, в) и их годографы (б, г)
Наконец, в диапазоне от 100 МГц до 100ГГц (область 7-дисперсии) с ростом частоты уменьшается поляризуемость всех молекул белков, а в самой верхней части диапазона — и молекул воды, являющейся сильно поляризуемым диэлектриком. Современные авторы выделяют из этого диапазона область ^-дисперсии от 10МГц до 1ГГц (Feldman, Hayashi, 2004), в которой уменьшение диэлектрической проницаемости связано с поляризуемостью белковых молекул.
Частотные характеристики импеданса биологической ткани отличаются от характеристик простой модели на рис. 2.2,а. Как показали исследования, проводившиеся еще в 1920-1930-е годы, в модель надо ввести особый электрический элемент, который создает фазовый сдвиг, не зависящий от частоты (Constant Phase Element CPE). Годограф цепи, содержащей CPE, является дугой окружности, центр которой смещен относительно горизонтальной оси координат (Cole, 1932). Такой вид годографа вполне соответствует экспериментальным данным.
В 1940 г. К. Коул предложил уравнения, описывающие частотные свойства импеданса биологических тканей (Cole, 1940). Эти
уравнения соответствуют двум эквивалентным схемам. Первая из них показана на рис. 2.4,а. Сопротивление объекта на бесконечно большой частоте Rсоответствует параллельному соединению Re и Ri на рис. 2.2,а, a AR = Ro — R^, где Ro — сопротивление объекта на нулевой частоте (соответствует Re). Уравнение Коула имеет вид:
(2.19)
где а — безразмерный параметр, tz — постоянная времени, определяющая характеристическую частоту цепи fc = 1/2nTz. Постоянный фазовый сдвиг СРЕ равен ап/2. Импеданс СРЕ описывается соотношением
(2.20)
Годограф данной схемы при R^ = AR = 200 Ом и а = 0,8 изображен на рис. 2.4,6. Значения Хс показаны без учета отрицательного знака. Отметим, что величина tz не влияет на форму и размеры годографа, а только определяет положение на нем точек, соответствующих определенным частотам. При а = 1 элемент СРЕ превращается в идеальный конденсатор, а годограф становится половиной окружности, как на рис. 2.2,в. При уменьшении а центр окружности смещается вниз, так что годограф становится частью полуокружности. При а = 0 элемент СРЕ вырождается в идеальное сопротивление, а годограф сжимается в точку на оси абсцисс.
На рис.2.4,в показан другой вариант эквивалентной схемы. Здесь G0 = I/R0 — проводимость объекта на нулевой частоте, AG = G— G0 = 1/R^ — 1/R0. Уравнение Коула записывается для комплексной проводимости:
(2.21) (2.22)
Годограф для тех же значений параметров модели показан на рис. 2.4,г.
Следует отметить, что при описании одного и того же объекта двумя вариантами эквивалентной схемы параметр а в (2.21) будет тот же, что и в (2.19), но постоянная времени ty не равна постоянной времени Tz.
Похожее по форме уравнение, известное как уравнение Коула- Коула, существует и для комплексной диэлектрической проницаемости (Cole, Cole, 1941):
(2.23)
Здесь ете — диэлектрическая проницаемость на бесконечно Большой частоте, Де = е^ — es, где es — диэлектрическая проницаемость на нулевой частоте.
Чтобы описать свойства вещества в широком диапазоне частот, в котором действуют разные механизмы релаксации, С. Габриэл и соавт. (Gabriel et al., 1996b) использовали четырехступенчатую модель Коула-Коула:
(2.24)
Здесь параметры с индексом 1 относятся к области 7-дисперсии, с индексом 2 — к области ,0-дисперсии, с индексами 3 и 4 — к области a-дисперсии, ai — ионная проводимость. В табл. 3 Прил. 2 приведены параметры некоторых тканей в соответствии с (2.24), взятые из указанной работы, все материалы которой можно найти в Интернете на сайте www.emfdosimetry.org.
Наличие CPE в эквивалентной схеме биологической ткани обусловлено рядом физических эффектов. Такими свойствами обладает двойной электрический слой (см. п. 2.5), возникающий у поверхностей раздела проводящих сред с разными проводящими свойствами, в частности, у клеточных мембран. Значение параметра а связано с шириной распределения постоянных времени в системе, состоящей из Большого числа частотно-зависимых компонентов (Grimnes, Martinsen, 2008). Это подтверждается, в частности, компьютерным анализом трехмерных моделей клеток (Furuya et al.,

2004. . Распределение постоянных времени релаксации при этом объясняется разбросом ориентации молекул.

В работе А. Иворры и соавт. (Ivorra et al., 2004) исследовалась связь параметра а с морфологией внеклеточного пространства. С помощью компьютерного моделирования показано, что при иерархической организации ткани, когда отдельные клетки объеди
няются в кластеры, получаемое значение а приближается к экспериментальным данным. Известны и другие подходы к объяснению физического смысла модели Коула.
Модель Коула (2.19) или (2.21) может быть дополнена, чтобы получить лучшее соответствие с теоретическими представлениями об электрофизических свойствах веществ. В статье С. Гримнеса и О. Мартинсена (Grimnes, Martinsen, 2005) дан анализ работ в этом направлении и приведены следующие формулы:
(2.25)
Здесь Gvar, Gi, Rvar, Ri — независимые параметры, представляющие идеальные проводимости или сопротивления. Число независимых переменных в модели увеличивается с 4 до 5, что дает возможность более точно интерпретировать частотные зависимости импеданса биологических тканей.