В основе модели МШ лежит целый ряд предположений о структуре процессов различения объектов-стимулов. Физически каждый объект-стимул характеризуется множеством признаков, например, “объем”, “форма”, “пространственное положение”, “высота”, “длина” и т.п. Сами признаки могут быть простыми и сложными, многомерными. Например, “высота” и “длина” — одномерные признаки, а “форма” и “положение” — многомерные. Отдельный одномерный признак может служить какой-либо одной размерностью более сложного признака. Так, “высота” геометрической фигуры есть одна из размерностей признака “форма”. Каждый стимул характеризуется определенными значениями или степенью выраженности признака.
Точно так же, как стимул характеризуется набором некоторых физических признаков, перцептивный образ стимула (иногда говорят просто — образ) можно характеризовать набором субъективных признаков. Психофизикам известно, что такому, например, физическому признаку стимула, как интенсивность светового излучения, субъек-
тивно соответствует яркость; такому, как вес — тяжесть и т.п. Субъективные признаки, также как и физические, могут быть простыми (одномерными) и сложными (многомерными). Однако физическая размерность стимула и субъективная размерность образа в общем случае не совпадают. МШ основывается на положении, что различение стимулов определяется расхождением по ограниченному числу простых субъективных признаков, которые явно или неявно учитываются при суждениях о различии или сходстве стимулов. Исходя из этого положения и ставится главная задача многомерного шкалирования — найти минимальное число субъективных признаков, определяющих различение стимулов человеком, и вычислить значение признаков, которыми характеризуются данные стимулы.
Такая постановка задачи — выявление системы базисных субъективных признаков стимула независимо от их физических коррелятов — позволяет подойти по-новому и к решению основной психофизической задачи — построению функции, связывающей субъективную шкалу стимулов. В отличие от традиционного подхода, когда для заданного физического признака стимулов строится соответствующая субъективная шкала и определяется связывающая их психофизическая функция, МШ дает возможность для заданного субъективного признака стимула определять его физический коррелят, т.е. брать за основу не физическую, а психологическую характеристику стимула. Такой подход к построению психофизической функции может быть полезным для случаев, когда один субъективный признак определяется системой нескольких физических признаков, или когда изменение одного физического признака ведет к изменению сразу нескольких субъективных признаков.
Решение задачи МШ основано иа использовании понятия психологического пространства, точки которого представляют исходные стимулы. Аналогично геометрическим представлениям вводится система координат, число которых определяется числом простых субъективных признаков. Это число задает размерность психологического пространства. Оси координат представляют собой шкалы соответствующих субъективных признаков, и положение точек-стимулов в пространстве задано шкальными значениями признаков. Число субъективных шкал
и шкальные значения стимулов характеризуют пространственную модель МШ.
Следующее положение, которое также лежит в основании МШ, касается суждений о сходстве или различии между стимулами. Эти суждения предполагаются связанными с положением точек-ста мулов в пространстве, поскольку чем более сходны между собой стимулы, тем ближе друг к другу в пространстве представляющие их точки, и наоборот, увеличение воспринимаемого различия между стимулами означает большее пространственное разделение соответствующих точек.
Иначе говоря, предполагается, что расстояние между точками в пространстве есть некоторая функция от субъек ¦ тивного сходства или различия. Метрическая задача МШ заключается в том, чтобы через получаемые суждения о сходстве или различии между стимулами определить расстояния между точками. Решение задачи состоит в построении модели субъективного расстояния в психологическом пространстве.
Формально общая задача МШ выражается следующим образом. По заданной симметричной матрице различий между стимулами
А і • • • Ап
(і)
D =
Aii ¦ ¦ ¦ А*м
нужно построить метрическую и пространственную модели стимулов, т.е. определить размерность пространства и координаты точек-стимулов в этом пространстве
і»
Хи...Х
(2)
Х =
X„i...
таким образом, чтобы матрица расстояний, вычисленных между точками на основании метрической модели расстояния
была бы в смысле некоторого критерия возможно более близка к исходной матрице различий D (Терехина, 1986).
В МШ существуют два подхода к решению общей задачи — метрический и неметрический В метрическом МШ на первом этапе строится модель субъективного расстояния. Исходные оценки сходств или различий преобразуются таким образом, чтобы числовые значения удовлетворяли аксиомам геометрического расстояния. На втором этапе по матрице абсолютных расстояний рассчитываются координаты точек и определяется размерность пространства. Для неметрического шкалирования существенными являются не абсолютные числовые значения оценок сходства, а только их порядок. Пространственная модель строится прямо по исходным данным о сходствах или различиях, при этом предполагается, что исходные оценки и межточечные расстояния связаны некоторой неизвестной и монотонной зависимостью, т.е. порядок межточечных расстояний должен соответствовать порядку исходных оценок.
Очевидно, что если исходные данные представлены в виде действительной симметричной матрицы порядка п с элементами не равными нулю, то всегда можно получить конфигурацию точек в пространстве размерности (п-1), удовлетворяющую этому условию. Однако если учитывать главную задачу МШ — определение минимальной размерности пространства, то задача построения пространственной модели сразу становится нетривиальной. Это наглядно иллюстрируется теоремой Гуттмана, которая гласит, что элементы действительной симметричной матрицы порядка п могут быть строго монотонны с расстояниями между п точками в действительном евклидовом пространстве размерностью не более, чем (п-2), только в том случае, если элементы матрицы не равны кулю и не совпадают друг с другом.
Иначе говоря, возможность уменьшения размерности при условии сохранения монотонности связана с дополнительными ограничениями, которым должно удовлетворять искомое решение. Последнее, в свою очередь, означает, что исходные данные должны обладать значительной избыточностью, по сравнению с искомым решением. В каком случае это возможно? Конфигурация точек в пространстве определяется пхг степенями свободы (где п — число точек-стимулов, г — размерность пространства). Исходная матрица различий имеет с2 степеней свободы. Следовательно, избыточность исходных данных будет зависеть от того, насколько число стимулов п больше, чем размерность г. Чем больше число стимулов по сравнению с размерностью, тем больше избыточность исходной матрицы и тем более определенной оказывается пространственная и метрическая структура данных, вплоть до нахождения единственного решения, если, конечно, такое решение возможно в принципе. Шепард (1966) показал, что при размерности 2 или 3 для метрического решения практически достаточно 10—15 точек-стимулов.
Таким образом, два неметрических условия, на которые ориентируется решение — монотонности и минимальной размерности — могут дать полную метрическую информацию об исходных данных.
Рассмотрим вкратце принципы достижения монотонности и понижения размерности, которые лежат в основе неметрических алгоритмов.
Достижение монотонности. Условие МОНОТОННОСТИ означает, что порядок межточечных расстояний d;j должен соответствовать порядку межстимульных различий D^. Для того, чтобы сделать возможным последовательное сравнение двух порядков, различия и расстояния ранжируются в два отдельных ряда от нуля (минимальная величина) до 1 (максимальная величина). Достижение монотонности есть приведение к нулю всех про ранжирован- ных разностей (D~ - d^), т.е.:
?(О9-lt;/9) = 0.              (4)
Положительное значение (D.. - d ) означает, что
v U              Г              ’
порядок расстояния меньше порядка различия, а отри- цательное — что больше. Если данная конфигурация точек (полученная каким-либо произвольным способом) не удовлетворяет условию (4), то конфигурация меняется путем сжатия расстояний с большим рангом и растяжения расстояний с меньшим рангом, чем соответствующий ранг различия. С этой целью для каждой і-й точки по линии, соединяющей ее с j-ой точкой, формируется вектор. Направление вектора определяется знаком разности (DSj - dy).
Если ранг различия больше ранга расстояния, то вектор направлен от точки і к точке j, а при отрицательной разности вектор направлен обратным образом. Длина вектора зависит от величины различия (D.. - dy). Для каждой точки і формируется (п-1) подобных векторов. Их общее действие можно представить как действие (п-І)-мерного вектора, приложенного к данной точке і. Перемещение всех точек таким образом приводит к новой конфигурации. Понятно, что новая конфигурация не сразу же после первого шага будет удовлетворять условию монотонности, поскольку каждая точка сдвигается по компромиссному направлению. Процедура достижения монотонности носит итеративный характер и может состоять из значительного числа шагов (Шепард, 1962).